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Para probar la identidad $\ln(x^a) = a \ln(x)$, vamos a usar la ayudita del enunciado, que nos dice si dos funciones $f$ y $g$ tienen la misma derivada, entonces la diferencia entre las dos funciones es una constante.
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Pruebe las siguientes identidades (Ayuda: use que si dos funciones $f \mathrm{y} g$ tienen la misma función derivada, entonces $f(x)=g(x)+c$, donde $c$ es una constante.)
b) $\ln(x^{a})=a \ln(x)$
b) $\ln(x^{a})=a \ln(x)$
Respuesta
Aclaración: Los primeros 4 ejercicios de esta práctica son bastante teóricos y no tienen nada que ver con el enfoque de los parciales. La posta en esta práctica arranca después.
Hecha esta aclaración, te lo dejo acá resuelto:
La derivada de $\ln(x^a)$ con respecto a $x$ es:
$\frac{d}{dx} \ln(x^a) = \frac{1}{x^a} \cdot a x^{a-1} = \frac{a}{x}$
Aclaración: $\frac{d}{dx}$ es otra notación para decir que estamos derivando respecto de $x$. Podemos usar esto o encerrar a la función entre paréntesis y ponerle el "prima" (') arriba. Me pareció que acá quedaba bueno usarlo jaja
Aclaración 2: Te das cuenta por qué me quedó $\frac{a}{x}$? (reglas de potenciación!)
Seguimos. Ahora derivemos $a \ln(x)$
$\frac{d}{dx} (a \ln(x)) = a \cdot \frac{1}{x} = \frac{a}{x}$
Vemos que ambas derivadas son las mismas! Según la propiedad que nos mencionaba el enunciado, esto implica que la diferencia entre las funciones $\ln(x^a)$ y $a \ln(x)$ es una constante, es decir...
$\ln(x^a) = a \ln(x) + c$
Para determinar el valor de la constante $c$, evaluamos las funciones en algún punto, por ejemplo $x = 1$ así nos queda fácil.
$\ln(1^a) = a \ln(1) + c$
$0 = 0 + c$
Así que $c$ debe ser $0$ y nos quedó...
$\ln(x^a) = a \ln(x)$
que era exactamente lo que queríamos demostrar =)